이산수학 시간 때 배운 행렬식 구하기!! (+고유벡터 & 고유값)

안녕하세요~!

이번에는, 행렬의 행렬식을 구해보고자 해요~!

행렬식 = 정방 행렬 A에 대해 고유값을 대응시키는 것으로,

|A| 또는 det(A)로 표기함.

★ 행렬식 구하기 (2*2)

(간단해 보이죠...??)

★ 행렬식 구하기 (3*3) : 사러스 법칙 사용!!

(여기까지만 보셔도 여렵죠...)

★ 행렬식 구하기 (4*4) : Wikipedia 참고!!

(제가 봐도 너무 복잡해요 ㅠ.ㅠ)

이제부터 이를 활용한 고유백터와 고유값을 구해볼게요~!

정방 행렬 A에 대해 AX=λX (X≠0)를 만족하는 λ를 고유값, X를 고유벡터라고 하는데요,

얼핏 보시면 A=λ가 되겠지... 라고 생각하실 수도 있으시겠지만,

A=행렬, λ=고유값이라는 것을 명심하셔야해요!!

즉, 연산을 위해서 λI(I = 단위행렬)로 바꾸면,

AX=λIX가 되고, 이는 (λI-A)X=0으로 표현 가능해요~!

여기에서 det(A-λI)=0을 만족시키는 λ를 구하고, 각 λ에 따른 고유벡터를 구하시면 돼요~!

(설명이 길어졌네요... 이제 교재의 예제를 들어볼게요~!)

★ 예제

행렬 A

일 때, AX=λX를 만족하는 고유값과 고유벡터를 구하시오.

먼저, det(A-λI)=0을 만족시키는 λ를 구해야하는데요,

행렬 A의 주대각 성분에 각각 λ를 빼고, 행렬식을 구하시면 됩니다.

여기에서는 λ=1 또는 λ=5가 나왔어요~! (고유값!!)

이제는 고유벡터를 각각 구해볼까요?

i. λ=1일 때

AX=λX로부터

det(A-λI)=0에서

여기에서 x₁=-x₂이므로, 부정해가 존재하게 됩니다. 따라서,

가 되겠죠?

i. λ=5일 때

위와 마찬가지로,

여기에서 x₂=3x₁이므로,

가 되겠죠?

(과정이 매우 어려워요 ㅠ.ㅠ)

물론, 교재의 내용을 인용한 만큼, 출처도 밝히도록 할게요~!

(만약 오류가 있다면 지적 부탁드릴게요~!)

출처 : 이산수학 (Tool 중심으로 이해하는 새로운 시각), 박두순 교수님 저, 한빛아카데미